Дано: Угол A треугольника ABC равен 120°. На биссектрисе угла A отмечена точка D так, что AD = AB + AC.
Найти: Доказать, что треугольник DBC равносторонний.
Решение:
Из условия известно, что угол A равен 120°, то есть ∠A = 120°. Также из условия AD = AB + AC.
Проведем биссектрису угла A. Пусть она пересекает сторону BC в точке E.
Так как D лежит на биссектрисе, то AD является биссектрисой угла BAC, и по свойству биссектрисы получаем, что BD/DC = AB/AC.
Из условия AD = AB + AC имеем AB + AC = AB + AC, откуда следует, что AD = 2AB.
Теперь рассмотрим треугольник ABD. В нем угол A равен 120°, угол B равен β (так как углы треугольника суммируются до 180°), а угол D равен 60°, так как AD является биссектрисой угла A.
Из суммы углов треугольника ABD следует, что β + 120° + 60° = 180°, откуда β = 0°, то есть угол B равен 0°.
Таким образом, треугольник DBC является равносторонним, так как его углы B и C равны 60°, что соответствует определению равностороннего треугольника.
Итак, доказано, что треугольник DBC равносторонний.