Дано: Через точку Y на стороне AB равностороннего треугольника проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке Z, а продолжение стороны AC за точку A — в точке X. Также известно, что XY = YZ и AY = BZ.
Найти: Доказать, что XZ⊥BC.
Решение:
1. Поскольку треугольник ABC равносторонний, то AB = BC = AC.
2. Из условия задачи мы знаем, что XY = YZ и AY = BZ.
3. Обозначим угол между прямыми BC и XZ как θ.
4. Рассмотрим треугольники ΔAYX и ΔBZY.
5. Из условия AY = BZ следует, что ∠AYX = ∠BZY (по построению).
6. Так как XY = YZ, то у нас также получается, что ∠AXY = ∠BZY.
7. В результате, у нас имеется два треугольника с равными углами при основании: ΔAYX и ΔBZY.
8. Из этого следует, что треугольники ΔAYX и ΔBZY подобны.
9. Поскольку эти треугольники подобны, то соответствующие стороны пропорциональны. То есть, AY/AB = YX/YC = AX/AC.
10. Но AB = BC = AC, следовательно, AY = YX = AX, что означает, что треугольник ΔAYX является равносторонним.
11. В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам.
12. Следовательно, угол между прямыми BC и XZ равен 60 градусам.
13. Получаем, что XZ⊥BC.
Таким образом, доказано, что XZ перпендикулярен к BC.