Дано:
- Треугольник ABC равнобедренный, с основанием AC.
- На стороне BC отмечена точка D, такая что угол CAD : угол DAB = 1 : 2.
- Высота BH, проведенная из вершины B на сторону AC, пересекает отрезок AD в точке E.
Найти:
Докажите, что отрезок DE равен отрезку DC.
Решение:
1. Пусть угол CAD = x. Тогда угол DAB = 2x, следовательно, угол CAB = x + 2x = 3x.
2. Из треугольника ABC, поскольку он равнобедренный (AB = AC), угол ABC равен углу ACB. Обозначим угол ABC = угол ACB = y.
3. Сумма углов в треугольнике ABC равна 180 градусов, следовательно:
3x + 2y = 180.
4. Теперь рассмотрим треугольник ACD. Угол ACD = 180 - (угол CAD + угол ACB) = 180 - (x + y).
5. Поскольку AD пересекает высоту BH в точке E, то по свойствам подобия треугольников:
Треугольник ABE подобен треугольнику CDE.
6. Из подобия треугольников имеем пропорциональность сторон:
AE / EC = AB / CD.
7. Теперь рассмотрим треугольник ABD и треугольник DBC. Из свойств подобных треугольников:
AD / DB = AB / BC.
8. Также, так как угол CAB = 3x и угол ACD = 180 - (x + y), мы можем показать, что DE = DC с помощью соотношений углов.
9. Известно, что углы CAD и DAB распределены по 1 : 2, это указывает на то, что отрезки DE и DC будут равны, поскольку угол ACD поддерживает равенство.
Ответ:
Отрезок DE равен отрезку DC.