Дано:
∠A = 36°, ∠B = 108°.
Найти:
Доказать, что AA1 = 2BB1.
Решение:
Из условий задачи известно, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Из этого следует, что ∠C = 180° - 36° - 108° = 36°, так как сумма углов треугольника равна 180°.
Так как проведены биссектрисы AA1 и BB1, то они делят соответственно углы при вершине A и B на два равных угла. То есть ∠AA1B = 18° и ∠BB1A = 54°.
Рассмотрим треугольник AA1B.
В нем у нас:
∠AA1B = 18°
∠A = 36°
∠A1AB = 126° (из суммы углов в треугольнике)
Получаем, что треугольник AA1B является равнобедренным, так как угол A = угол A1AB.
Следовательно, AA1 = AB.
Аналогично, рассмотрим треугольник BB1A:
∠BB1A = 54°
∠B = 108°
∠B1BA = 18° (из суммы углов в треугольнике)
Получаем, что треугольник BB1A является равнобедренным, так как угол B = угол B1BA.
Следовательно, BB1 = BA.
Из полученного выше следует, что AA1 = AB = 2BB1.
Ответ:
AA1 = 2BB1.