Question

На основании АС равнобедренного треугольника ABC отмечена точка D, а на боковых сторонах АВ и ВС — точки Е и F так, что DE = DF. Докажите, что: а) если /EDF = ∠А, то АЕ + FC = АС, б) если АЕ + FC = АС, то ∠EDF = ∠А.

Answer 1

Дано:  
ABC - равнобедренный треугольник, DE = DF.

Найти и доказать:  
а) если ∠EDF = ∠A, то AE + FC = AC;  
б) если AE + FC = AC, то ∠EDF = ∠A.

Решение:  
а) Пусть ∠EDF = ∠A.  
Так как ABC - равнобедренный треугольник, то AC = AB.  
Из условия DE = DF следует, что треугольник DEF - равносторонний.

Тогда по теореме о медиане в треугольнике DEB получим:  
AE = 1/2 * DB.

По теореме о медиане в треугольнике DFC получим:  
FC = 1/2 * DC.

Сложим обе полученные равенства:
AE + FC = 1/2 * (DB + DC).

Так как ABC - равнобедренный, то DB = DC и, следовательно, DB + DC = BC = AC.

Таким образом, получаем:  
AE + FC = AC.

б) Пусть AE + FC = AC.  
Так как ABC - равнобедренный, то AC = AB.  
Из условия DE = DF следует, что треугольник DEF - равносторонний.

По теореме о медиане в треугольнике DEB получим:  
AE = 1/2 * DB.

По теореме о медиане в треугольнике DFC получим:  
FC = 1/2 * DC.

Из условия AE + FC = AC можно записать:  
1/2 * (DB + DC) = AC.

Так как ABC - равнобедренный, то DB = DC и, следовательно, DB + DC = BC = AC.

Отсюда следует, что ∠EDF = ∠A.

Ответ:  
а) Если ∠EDF = ∠A, то AE + FC = AC.  
б) Если AE + FC = AC, то ∠EDF = ∠A.