Question

На боковых сторонах ВА и ВС равнобедренного треугольника ABC с углом В, равным 20°, отмечены точки Q и Р так, что ∠ACQ = 60° и ∠CAP = 50° (рис. 42). Найдите угол APQ.

Answer 1

Дано:  
Треугольник ABC - равнобедренный с углом B = 20°; ∠ACQ = 60°; ∠CAP = 50°.

Найти:  
∠APQ.

Решение:  
Из равнобедренности треугольника ABC следует, что ∠ACB = ∠ABC = (180° - 20°) / 2 = 80°.

Так как ∠CAP = 50°, а ∠ACB = 80°, то ∠PAC = 80° - 50° = 30°.

Так как ∠ACQ = 60°, а ∠ABC = 80°, то ∠CAB = ∠ABC - ∠ACQ = 80° - 60° = 20°.

Из равенства сторон треугольника ABC следует, что ∠ACB = ∠ABC, поэтому треугольник ABC равнобедренный.

Рассмотрим треугольник APQ. Известно, что ∠PAC = 30° и ∠CAQ = 60°. Также мы найдем ∠PAQ как дополнительный к ∠CAQ в треугольнике AQC: ∠PAQ = 180° - ∠CAQ - ∠ACQ = 180° - 60° - 30° = 90°.

Итак, угол APQ равен 90°.

Ответ:  
Угол APQ равен 90°.