В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD и на стороне АВ отмечена точка Е так, что BE = BD. Докажите, что ED = DC.
от

1 Ответ

Дано:  
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD, на стороне AB отмечена точка E так, что BE = BD.

Найти:  
Доказать, что ED = DC.

Решение:  
Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC. Также BD = BE. Рассмотрим треугольники ABD и ABE.

Из условия BE = BD и угла ADB является общим, треугольники ABD и ABE равны по стороне-угол-стороне (СУС).

Таким образом, ∠ABE = ∠ADB и ∠BAE = ∠BAD.

Из равенства треугольников следует, что угол BAE равен углу BAD. Но угол BAE также равен углу DAE, так как AD - биссектриса угла CAB.

Следовательно, угол BAD равен углу DAE.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Из равенства сторон AC и AB, а также равенства углов CAD и BAD (как вертикальные), следует, что треугольники ACD и ABD подобны.

Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны. Так как BD = BE, то DC = DE.

Таким образом, доказано, что ED = DC.

Ответ:  
ED = DC.
от