Дано:
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD, на стороне AB отмечена точка E так, что BE = BD.
Найти:
Доказать, что ED = DC.
Решение:
Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC. Также BD = BE. Рассмотрим треугольники ABD и ABE.
Из условия BE = BD и угла ADB является общим, треугольники ABD и ABE равны по стороне-угол-стороне (СУС).
Таким образом, ∠ABE = ∠ADB и ∠BAE = ∠BAD.
Из равенства треугольников следует, что угол BAE равен углу BAD. Но угол BAE также равен углу DAE, так как AD - биссектриса угла CAB.
Следовательно, угол BAD равен углу DAE.
Теперь рассмотрим треугольник ACD. Из равенства сторон AC и AB, а также равенства углов CAD и BAD (как вертикальные), следует, что треугольники ACD и ABD подобны.
Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны. Так как BD = BE, то DC = DE.
Таким образом, доказано, что ED = DC.
Ответ:
ED = DC.