Question

Точки D и Е лежат на продолжениях сторон АВ и АС треугольника ABC за точки В и С, биссектрисы углов DBC и ЕСВ пересекаются в точке О (рис. 46). Докажите, что биссектриса угла ВАС проходит через точку О.

Answer 1

Дано:
Точки D и E лежат на продолжениях сторон AB и AC треугольника ABC за точками B и C,
Биссектрисы углов DBC и ECB пересекаются в точке O.

Найти:
Доказать, что биссектриса угла BAC проходит через точку O.

Решение:
Пусть F - точка пересечения биссектрисы угла BAC и отрезка DE. Так как BF и CF являются биссектрисами углов ABC и ACB, то треугольник BFC является равнобедренным.

Поскольку BD и CE - продолжения сторон AB и AC, то угол DBC = угол ABC и угол ECB = угол ACB. Из равнобедренности треугольника BFC следует, что угол FBC = угол FCB.

Из равенства углов и того, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, получаем, что угол BFC = 180 - угол BAC.

Таким образом, угол BFC + угол BAC = 180 градусов, что означает, что точка F лежит на прямой, проходящей через точку O (точку пересечения биссектрис углов DBC и ECB).

Следовательно, биссектриса угла BAC также проходит через точку O.

Ответ:
Биссектриса угла BAC проходит через точку O.