Биссектрисы треугольника ABC, в котором ∠A = 120°, пересекаются в точке О. На лучах ВА и С А отложены отрезки ВР и CQ, равные

Биссектрисы треугольника ABC, в котором ∠A = 120°, пересекаются в точке О. На лучах ВА и С А отложены отрезки ВР и CQ, равные стороне ВС. Докажите, что ∠POQ = 90°.
от

1 Ответ

Дано: Угол A = 120 градусов, ВС = BR = CQ

Найти: Угол POQ = 90 градусов

Решение:

Построим биссектрисы угла B и угла C, которые пересекаются в точке O. Точка O - центр описанной окружности треугольника ABC.

Так как BC = BR = CQ, то треугольник BRCQ равнобедренный.

Из равенства углов треугольника ABC следует, что угол BAC = угол BAO + угол OAC.

Также, по свойству углов на центральном угле угол BOC = 2*угол BAC = 240 градусов.

Следовательно, угол BOA = угол COA = 1/2 угол BOC = 120 градусов.

Рассмотрим четырехугольник OAPQ. Так как угол OAP = угол OAQ = 60 градусов (так как AR = BC = CQ), то данный четырехугольник - равнобедренный.

Отсюда угол POQ = угол PAQ = 90 градусов.

Ответ: Угол POQ = 90 градусов.
от

Похожие вопросы