Дано:
Треугольник ABC, где окружность описана на стороне AC как на диаметре и проходит через середину стороны AB, обозначенную как M.
Обозначим длины сторон: AB = c, AC = b, BC = a.
Найти:
Доказать, что треугольник ABC является равнобедренным, т.е. AB = AC.
Решение:
1. Поскольку окружность проходит через точку M, это означает, что угол AMB равен 90 градусам, так как угол, опирающийся на диаметр, равен 90 градусам.
2. Из треугольника AMB следует, что:
угол AMB = 90 градусов.
3. По свойству прямоугольного треугольника MAB:
BM^2 + AM^2 = AB^2.
4. В треугольнике ABC проведем высоту из точки C на сторону AB, обозначив точку пересечения как H. Поскольку M - середина AB, то AM = MB = c/2.
5. В треугольнике MAB, используя теорему Пифагора, получаем:
MH^2 + AH^2 = AB^2.
6. Так как угол AMB прямой, то MH - высота, проведенная из точки M на сторону AB.
7. Теперь рассмотрим треугольник ACB. Поскольку угол CMB равен углу AMB (так как они образованы одной и той же прямой и совпадающими углами), можно утверждать, что:
угол ACB = угол AMB = 90 градусов.
8. Таким образом, мы видим, что:
AB = AC, и треугольник ABC является равнобедренным.
Ответ:
Треугольник ABC является равнобедренным, т.е. AB = AC.