Дано:
- Плоскость α.
- Точки М и К лежат на плоскости α.
- Точка С лежит вне плоскости α.
- СМ = СК = 13 (расстояния от точки С до точек М и К).
- МК = 10 (расстояние между точками М и К).
а) Изобразить прямую, проходящую через точку С, перпендикулярную прямой МК.
1. Для того, чтобы найти прямую, проходящую через точку С и перпендикулярную прямой МК, нужно выполнить следующее:
- Вектора, направленные по прямой МК, будут определяться как разность координат точек М и К. Пусть М = (x₁, y₁, z₁), К = (x₂, y₂, z₂), тогда вектор, направленный вдоль прямой МК, будет равен:
v = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)
- Вектор, направленный перпендикулярно прямой МК, будет определяться через точку С и должен быть ортогонален вектору v. То есть, вектор SC = (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁) должен быть ортогонален v. Это означает, что их скалярное произведение должно быть равно нулю:
(x₃ - x₁) * (x₂ - x₁) + (y₃ - y₁) * (y₂ - y₁) + (z₃ - z₁) * (z₂ - z₁) = 0
2. После нахождения вектора, перпендикулярного прямой МК, можно будет построить прямую, проходящую через точку С, которая будет иметь направление этого вектора.
б) Вычислить расстояние от точки С до прямой МК.
Расстояние от точки С до прямой МК можно вычислить по формуле для расстояния между точкой и прямой в пространстве. Формула выглядит следующим образом:
d = |(r₃ - r₁) × (r₂ - r₁)| / |r₂ - r₁|
где:
- r₁ и r₂ — координаты точек М и К соответственно.
- r₃ — координаты точки С.
- × — векторное произведение.
- | | — модуль вектора.
Вычислим это расстояние по данными, что СМ = СК = 13 и МК = 10.
1. Вектор, направленный от М до К: v = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)
2. Вектор от М до С: w = (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁)
3. Рассчитываем векторное произведение: v × w
4. Находим длину этого вектора.
5. Затем делим на длину вектора v (то есть, на МК).
в) Вычислить площадь треугольника МКС.
Площадь треугольника МКС можно вычислить по формуле площади через векторное произведение двух векторов, образующих сторону треугольника. Формула для площади треугольника:
S = 1/2 * |(v₁ × v₂)|,
где v₁ и v₂ — векторы, направленные от точки М к точкам К и С соответственно.
1. Вектор v₁ = К - М = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)
2. Вектор v₂ = С - М = (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁)
После нахождения векторного произведения этих векторов, находим его длину, и площадь треугольника будет равна половине этой длины.
Ответы
1. Прямая, проходящая через точку С, перпендикулярная прямой МК, можно изобразить, решив систему уравнений для перпендикулярных векторов, как описано выше.
2. Расстояние от точки С до прямой МК можно найти по формуле расстояния между точкой и прямой, учитывая, что СМ = СК = 13 и МК = 10. Нужно вычислить векторное произведение и найти модуль.
3. Площадь треугольника МКС можно найти по формуле площади через векторное произведение.