Дано:
Треугольник ABC с прямым углом в точке C (∠C = 90°). Через точку C проведена прямая m, перпендикулярная плоскости (ABC). Требуется доказать, что плоскость, определяемая прямой t и точкой A, перпендикулярна плоскости, определяемой точкой B и прямой m.
Решение:
1. Пусть плоскость (ABC) — это плоскость, содержащая треугольник ABC, и в этой плоскости угол ∠C = 90°.
2. Прямая m перпендикулярна плоскости (ABC) и проходит через точку C, т.е. м — это нормаль к плоскости (ABC).
3. Пусть прямая t — это прямая, которая соединяет точку A с точкой C. Плоскость, определяемая прямой t и точкой A, будет плоскостью, содержащей прямую AC и точку A. Эта плоскость будет иметь угол наклона к плоскости (ABC).
4. Плоскость, определяемая точкой B и прямой m, будет вертикальной плоскостью, так как прямая m перпендикулярна плоскости (ABC), и точка B лежит в этой плоскости. Следовательно, эта плоскость перпендикулярна плоскости (ABC).
5. Чтобы доказать, что плоскость, определяемая прямой t и точкой A, перпендикулярна плоскости, определяемой точкой B и прямой m, нужно показать, что нормали этих двух плоскостей перпендикулярны.
6. Нормаль к плоскости, определяемой прямой t и точкой A, будет перпендикулярна прямой AC. Это будет вектор, направленный вдоль прямой AC.
7. Нормаль к плоскости, определяемой точкой B и прямой m, будет вектор, направленный вдоль прямой m, так как прямая m перпендикулярна плоскости (ABC).
8. Поскольку прямая m перпендикулярна плоскости (ABC), а прямая AC лежит в плоскости (ABC), то прямые AC и m перпендикулярны. Это означает, что нормали к этим плоскостям перпендикулярны.
9. Следовательно, плоскости, определяемые прямой t и точкой A, и точкой B и прямой m, перпендикулярны друг другу.
Ответ:
Плоскость, определяемая прямой t и точкой A, перпендикулярна плоскости, определяемой точкой B и прямой m.