Дано:
- Пирамида РАВС, где РВ — высота, РА = PC, M — середина AC.
- Плоскости и прямые: (РВА), (ABC), (PMB), (APC).
- Необходимо доказать, что:
а) (РВА) ⊥ (ABC);
б) AC ⊥ (РМВ);
в) (PMB) ⊥ (APC).
Решение:
а) Доказательство, что (РВА) ⊥ (ABC):
Для того чтобы доказать, что плоскость (РВА) перпендикулярна плоскости (ABC), нужно показать, что вектор, лежащий в плоскости (РВА), перпендикулярен каждому из векторов, лежащих в плоскости (ABC). Плоскость (РВА) определена тремя точками: Р, А и В. Так как РВ — высота пирамиды, то РВ перпендикулярна основанию (плоскости) (ABC). Следовательно, вектор РВ перпендикулярен плоскости (ABC).
Итак, так как РВ перпендикулярен плоскости (ABC), то вся плоскость (РВА), содержащая РВ, будет перпендикулярна плоскости (ABC).
Ответ: (РВА) ⊥ (ABC).
б) Доказательство, что AC ⊥ (РМВ):
M — середина отрезка AC, значит, отрезок AM = MC. Мы знаем, что в пирамиде высоты из вершин на основании перпендикулярны плоскости основания. Плоскость (РМВ) содержит прямую МВ, которая лежит в плоскости основания (ABC). Так как М — середина отрезка AC, и высоты пирамиды перпендикулярны основанию, линия AC будет перпендикулярна плоскости (РМВ).
Ответ: AC ⊥ (РМВ).
в) Доказательство, что (PMB) ⊥ (APC):
Плоскость (PMB) и плоскость (APC) образуют два угла, между которыми требуется установить перпендикулярность. Так как Пирамида РАВС симметрична относительно оси, проходящей через вершину Р и середину основания, и точки P, M лежат на этой оси, то плоскости (PMB) и (APC) будут перпендикулярны между собой, так как линия пересечения этих плоскостей будет совпадать с осью симметрии пирамиды, а соответственно, между этими плоскостями будет угол 90°.
Ответ: (PMB) ⊥ (APC).