Дано:
- В пирамиде РАВС грани РАВ и ABC взаимно перпендикулярны.
- В треугольнике РАВ: РА = РВ = АВ = 4 (равносторонний треугольник).
- В треугольнике ABC: ∠C = 90°, ∠A = 30°.
Найти: объем пирамиды РАВС.
Решение:
1. Для начала определим высоту треугольника РАВ. Так как РА = РВ = АВ = 4, треугольник РАВ является равносторонним. Высота h треугольника РАВ вычисляется по формуле для высоты равностороннего треугольника:
h_РАВ = (√3 / 2) * АВ = (√3 / 2) * 4 = 2√3.
2. Теперь найдем площадь основания пирамиды. Основанием пирамиды является треугольник ABC. В этом треугольнике угол ∠C = 90°, и известны углы ∠A = 30° и ∠B = 60°. Площадь треугольника можно найти через его катеты.
Пусть катеты треугольника ABC — это AC и BC. Так как угол ∠A = 30°, то по свойствам треугольника с углом 30°-60°-90°:
AC = AB * cos(30°) = 4 * (√3 / 2) = 2√3,
BC = AB * sin(30°) = 4 * (1 / 2) = 2.
Теперь вычислим площадь треугольника ABC:
S_ABC = (1 / 2) * AC * BC = (1 / 2) * 2√3 * 2 = 2√3.
3. Площадь основания пирамиды мы нашли, это S_ABC = 2√3.
4. Теперь найдем высоту пирамиды. Так как грани РАВ и ABC взаимно перпендикулярны, высота пирамиды будет равна высоте треугольника РАВ. Высота треугольника РАВ уже была найдена и равна 2√3. Это и есть высота пирамиды.
5. Объем пирамиды можно вычислить по формуле:
V = (1 / 3) * S_ABC * h_пирамида.
Подставляем значения:
V = (1 / 3) * 2√3 * 2√3 = (1 / 3) * 2√3 * 2√3 = (1 / 3) * 12 = 4.
Ответ: объем пирамиды РАВС равен 4.