Дано:
- Треугольник ABC, где сторона AB лежит в плоскости α.
- Вершина C удалена от плоскости α на 6 см.
- СА = СВ = 13 см, АВ = 10 см.
- Необходимо найти угол между плоскостями (ABC) и α.
Решение:
1. Представим треугольник ABC в трехмерном пространстве. Пусть точка A лежит в начале координат, точка B находится на оси X, а точка C в пространстве (не лежит в плоскости α, а на некотором расстоянии от нее).
2. Введем координаты точек:
- A = (0, 0, 0)
- B = (10, 0, 0) (так как АВ = 10 см)
- C = (x, y, 6), где x и y — координаты точки C в плоскости, а 6 см — это расстояние от вершины C до плоскости α.
3. Так как СА = 13 см, то из теоремы о расстоянии между двумя точками:
√(x^2 + y^2 + 6^2) = 13
x^2 + y^2 + 36 = 169
x^2 + y^2 = 133
4. Аналогично, из того, что СВ = 13 см, имеем:
√((x - 10)^2 + y^2 + 6^2) = 13
(x - 10)^2 + y^2 + 36 = 169
(x - 10)^2 + y^2 = 133
Раскроем скобки:
x^2 - 20x + 100 + y^2 = 133
x^2 + y^2 - 20x + 100 = 133
133 - 20x + 100 = 133
-20x + 100 = 0
x = 5
5. Подставим x = 5 в уравнение x^2 + y^2 = 133:
5^2 + y^2 = 133
25 + y^2 = 133
y^2 = 108
y = √108 = 2√27 ≈ 6.48
6. Теперь у нас есть координаты точки C: (5, 6.48, 6).
7. Векторы, которые определяют плоскости:
- Вектор AB = (10, 0, 0)
- Вектор AC = (5, 6.48, 6)
8. Вектор нормали к плоскости (ABC) можно найти через векторное произведение векторов AB и AC:
N = AB × AC
N = |i j k|
|10 0 0|
|5 6.48 6|
N = i(0*6 - 0*6.48) - j(10*6 - 0*5) + k(10*6.48 - 0*5)
N = (0, -60, 64.8)
9. Нормаль к плоскости α будет направлена вдоль оси Z, т.е. Nα = (0, 0, 1).
10. Угол между плоскостями (ABC) и α равен углу между их нормалями. Для этого используем формулу для угла между двумя векторами:
cos(θ) = (N1 • N2) / (|N1| * |N2|)
Где N1 = (0, -60, 64.8) и N2 = (0, 0, 1).
N1 • N2 = 0*0 + (-60)*0 + 64.8*1 = 64.8
|N1| = √(0^2 + (-60)^2 + 64.8^2) = √(3600 + 4202.24) = √7802.24 ≈ 88.37
|N2| = √(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1
cos(θ) = 64.8 / 88.37 ≈ 0.734
θ = arccos(0.734) ≈ 43.3°
Ответ: угол между плоскостями (ABC) и α примерно 43.3°.