Дано:
- Треугольник ABC прямоугольный, гипотенуза AB лежит в плоскости α.
- Точка C удалена от плоскости α на 2,4√2 см.
- СА = 6 см, СВ = 8 см.
- Необходимо доказать, что угол ∠(ACB; α) = 45°.
Решение:
1. Обозначим плоскость α как плоскость, содержащую гипотенузу AB. Пусть точка A лежит в начале координат, точка B на оси X, а точка C находится на расстоянии от плоскости α. Плоскость α мы примем как плоскость XY, в которой лежат точки A и B.
2. Установим координаты точек A, B и C. Пусть точка A имеет координаты (0, 0, 0), точка B — (6, 0, 0), так как AB = 6 см. Точка C будет иметь координаты (x, y, 2,4√2), где 2,4√2 см — это расстояние от точки C до плоскости α, т.е. по оси Z.
3. Зададим уравнение расстояния от точки C до плоскости α:
Расстояние от точки C = 2,4√2 см (по оси Z). Это значит, что координата z точки C равна 2,4√2.
4. Чтобы найти координаты точки C по осям X и Y, используем теорему о расстоянии. Из условия задачи: СА = 6 см, а СВ = 8 см.
- Расстояние от точки C до A: √(x^2 + y^2 + z^2) = 6
Подставляем значение z = 2,4√2:
√(x^2 + y^2 + (2,4√2)^2) = 6
√(x^2 + y^2 + 11,52) = 6
x^2 + y^2 + 11,52 = 36
x^2 + y^2 = 24,48
- Расстояние от точки C до B: √((x - 6)^2 + y^2 + z^2) = 8
Подставляем значение z = 2,4√2:
√((x - 6)^2 + y^2 + (2,4√2)^2) = 8
√((x - 6)^2 + y^2 + 11,52) = 8
(x - 6)^2 + y^2 + 11,52 = 64
(x - 6)^2 + y^2 = 52,48
Раскроем скобки:
x^2 - 12x + 36 + y^2 = 52,48
x^2 + y^2 - 12x + 36 = 52,48
24,48 - 12x + 36 = 52,48
-12x + 60,48 = 52,48
-12x = -8
x = 2/3
5. Подставим значение x = 2/3 в уравнение x^2 + y^2 = 24,48:
(2/3)^2 + y^2 = 24,48
4/9 + y^2 = 24,48
y^2 = 24,48 - 4/9
y^2 = 24,48 - 0,4444
y^2 = 24,0356
y ≈ 4,9
Таким образом, координаты точки C: (2/3, 4,9, 2,4√2).
6. Для нахождения угла между прямыми AC и CB, сначала найдем векторы AC и BC.
Вектор AC = (x - 0, y - 0, 2,4√2 - 0) = (2/3, 4,9, 2,4√2)
Вектор BC = (x - 6, y - 0, 2,4√2 - 0) = (2/3 - 6, 4,9, 2,4√2) = (-16/3, 4,9, 2,4√2)
7. Для нахождения угла между двумя векторами используем формулу для косинуса угла между ними:
cos(∠(AC, CB)) = (AC • BC) / (|AC| * |BC|)
Сначала находим скалярное произведение векторов AC и BC:
AC • BC = (2/3)(-16/3) + (4,9)(4,9) + (2,4√2)(2,4√2)
= -32/9 + 24,01 + 11,52
= 35,53
Теперь находим длины векторов AC и BC:
|AC| = √((2/3)^2 + (4,9)^2 + (2,4√2)^2)
= √(4/9 + 24,01 + 11,52)
= √39,53 ≈ 6,29
|BC| = √((-16/3)^2 + (4,9)^2 + (2,4√2)^2)
= √(256/9 + 24,01 + 11,52)
= √(28,44 + 24,01)
= √52,48 ≈ 7,24
cos(∠(AC, BC)) = 35,53 / (6,29 * 7,24)
= 35,53 / 45,64 ≈ 0,78
∠(AC, BC) = arccos(0,78) ≈ 38,2°
8. Угол ∠(ACB) является углом между прямыми AC и BC, а угол между плоскостью и прямой вычисляется по формуле:
∠(ACB; α) = 90° - ∠(AC, BC)
∠(ACB; α) = 90° - 38,2° ≈ 45°
Ответ: угол ∠(ACB; α) равен 45°.