Дано:
Треугольник ABC прямоугольный, ∠АС = 90°, АС = 12 см, ВС = 16 см.
Вне плоскости (ABC) взята точка М, такая что MA = MB = МС = 10√2 см.
Необходимо найти:
а) расстояние от точки М до плоскости (ABC);
б) расстояние от точки М до прямой ВС;
в) углы или значения их тригонометрических функций:
1. ∠(MB; (ABC));
2. ∠(MC; (ABC));
3. ∠((MAB); (ABC));
4. ∠((MBC); (ABC)).
Решение:
1. Рассмотрим треугольник ABC.
Так как ∠АС = 90°, треугольник прямоугольный, и мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины гипотенузы AB:
AB² = АС² + ВС² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400,
AB = √400 = 20 см.
2. Расстояние от точки М до плоскости (ABC).
Для этого будем использовать свойство того, что если точка М находится на одинаковом расстоянии от трёх точек треугольника (в данном случае от A, B и C), то точка М лежит на сфере, центр которой совпадает с центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Таким образом, точка М лежит на прямой, перпендикулярной плоскости (ABC) в её центре.
Найдем радиус описанной окружности. Радиус описанной окружности треугольника можно найти по формуле:
R = (AB * AC * BC) / 4 * S,
где S — площадь треугольника ABC. Площадь треугольника можно вычислить как:
S = (1/2) * AC * BC = (1/2) * 12 * 16 = 96 см².
Теперь находим радиус окружности:
R = (20 * 12 * 16) / (4 * 96) = 3840 / 384 = 10 см.
Так как точка М равна расстоянию от A, B и C, то она лежит на оси, проходящей через центр окружности, и расстояние от точки М до плоскости равно радиусу окружности, т.е. 10 см.
Ответ: Расстояние от точки М до плоскости (ABC) равно 10 см.
3. Расстояние от точки М до прямой ВС.
Для нахождения расстояния от точки М до прямой ВС используем формулу расстояния от точки до прямой. Для этого найдем векторное произведение векторов MB и BC, а затем применим формулу для расстояния от точки до прямой.
1. Вектор MB = M - B, где M имеет координаты (0, 0, 10√2), а B — (16, 0, 0),
MB = (0 - 16, 0 - 0, 10√2 - 0) = (-16, 0, 10√2).
2. Вектор BC = C - B, где C имеет координаты (12, 0, 0),
BC = (12 - 16, 0 - 0, 0 - 0) = (-4, 0, 0).
Теперь находим векторное произведение MB × BC:
MB × BC = |i j k |
|-16 0 10√2|
|-4 0 0|
= i(0 * 0 - 10√2 * 0) - j(-16 * 0 - 10√2 * (-4)) + k(-16 * 0 - 0 * (-4))
= i(0) - j(40√2) + k(0)
= -40√2 j.
Теперь находим модуль векторного произведения:
|MB × BC| = √((-40√2)²) = 40√2.
Модуль вектора BC:
|BC| = √((-4)² + 0² + 0²) = 4.
Расстояние от точки М до прямой BC:
d = |MB × BC| / |BC| = 40√2 / 4 = 10√2 см.
Ответ: Расстояние от точки М до прямой ВС равно 10√2 см.
4. Угол между вектором MB и плоскостью (ABC).
Для нахождения угла между вектором MB и плоскостью (ABC) воспользуемся тем, что угол между вектором и плоскостью равен углу между вектором и нормалью к плоскости. Мы уже знаем, что нормаль к плоскости (ABC) будет перпендикулярна к плоскости, и её вектор можно найти, вычислив векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Векторы AC и BC лежат в плоскости (ABC), поэтому нормаль к плоскости будет равна векторному произведению этих векторов.
1. Вектор AC = C - A = (12, 0, 0).
2. Вектор BC = B - C = (16, 0, 0) - (12, 0, 0) = (4, 0, 0).
Нормаль к плоскости:
N = AC × BC = |i j k|
|12 0 0|
|4 0 0|
= i(0) - j(0) + k(0) = (0, 0, 0).
Таким образом, нормаль не существует.