В треугольнике ABC. АС = 90°, АС = 12, ВС = 16. Вне плоскости (ABC) взята точка М.  Оказалось,  что MA = MB = МС =10√2. На каком расстоянии находится точка М от: а) плоскости (ABC); б) прямой ВС? Найдите величины углов или укажите значения какой-либо их тригонометрической функции: a) ∠(MB; (ABC)); б) ∠(MC; (ABC)); в) ∠((MAB); (ABC)); г) ∠((MBC); (ABC)).
от

1 Ответ

Дано:  
Треугольник ABC прямоугольный, ∠АС = 90°, АС = 12 см, ВС = 16 см.  
Вне плоскости (ABC) взята точка М, такая что MA = MB = МС = 10√2 см.

Необходимо найти:  
а) расстояние от точки М до плоскости (ABC);  
б) расстояние от точки М до прямой ВС;  
в) углы или значения их тригонометрических функций:
1. ∠(MB; (ABC));
2. ∠(MC; (ABC));
3. ∠((MAB); (ABC));
4. ∠((MBC); (ABC)).

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABC.  
Так как ∠АС = 90°, треугольник прямоугольный, и мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины гипотенузы AB:

AB² = АС² + ВС² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400,  
AB = √400 = 20 см.

2. Расстояние от точки М до плоскости (ABC).

Для этого будем использовать свойство того, что если точка М находится на одинаковом расстоянии от трёх точек треугольника (в данном случае от A, B и C), то точка М лежит на сфере, центр которой совпадает с центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Таким образом, точка М лежит на прямой, перпендикулярной плоскости (ABC) в её центре.

Найдем радиус описанной окружности. Радиус описанной окружности треугольника можно найти по формуле:

R = (AB * AC * BC) / 4 * S,

где S — площадь треугольника ABC. Площадь треугольника можно вычислить как:

S = (1/2) * AC * BC = (1/2) * 12 * 16 = 96 см².

Теперь находим радиус окружности:

R = (20 * 12 * 16) / (4 * 96) = 3840 / 384 = 10 см.

Так как точка М равна расстоянию от A, B и C, то она лежит на оси, проходящей через центр окружности, и расстояние от точки М до плоскости равно радиусу окружности, т.е. 10 см.

Ответ: Расстояние от точки М до плоскости (ABC) равно 10 см.

3. Расстояние от точки М до прямой ВС.

Для нахождения расстояния от точки М до прямой ВС используем формулу расстояния от точки до прямой. Для этого найдем векторное произведение векторов MB и BC, а затем применим формулу для расстояния от точки до прямой.

1. Вектор MB = M - B, где M имеет координаты (0, 0, 10√2), а B — (16, 0, 0),  
MB = (0 - 16, 0 - 0, 10√2 - 0) = (-16, 0, 10√2).

2. Вектор BC = C - B, где C имеет координаты (12, 0, 0),  
BC = (12 - 16, 0 - 0, 0 - 0) = (-4, 0, 0).

Теперь находим векторное произведение MB × BC:

MB × BC = |i   j   k |  
           |-16  0  10√2|  
           |-4   0  0|

= i(0 * 0 - 10√2 * 0) - j(-16 * 0 - 10√2 * (-4)) + k(-16 * 0 - 0 * (-4))  
= i(0) - j(40√2) + k(0)  
= -40√2 j.

Теперь находим модуль векторного произведения:

|MB × BC| = √((-40√2)²) = 40√2.

Модуль вектора BC:

|BC| = √((-4)² + 0² + 0²) = 4.

Расстояние от точки М до прямой BC:

d = |MB × BC| / |BC| = 40√2 / 4 = 10√2 см.

Ответ: Расстояние от точки М до прямой ВС равно 10√2 см.

4. Угол между вектором MB и плоскостью (ABC).

Для нахождения угла между вектором MB и плоскостью (ABC) воспользуемся тем, что угол между вектором и плоскостью равен углу между вектором и нормалью к плоскости. Мы уже знаем, что нормаль к плоскости (ABC) будет перпендикулярна к плоскости, и её вектор можно найти, вычислив векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Векторы AC и BC лежат в плоскости (ABC), поэтому нормаль к плоскости будет равна векторному произведению этих векторов.

1. Вектор AC = C - A = (12, 0, 0).  
2. Вектор BC = B - C = (16, 0, 0) - (12, 0, 0) = (4, 0, 0).

Нормаль к плоскости:  
N = AC × BC = |i   j   k|  
                |12  0  0|  
                |4   0  0|  
= i(0) - j(0) + k(0) = (0, 0, 0).

Таким образом, нормаль не существует.
от