Дано:
Треугольник ABC прямоугольный, ∠C = 90°, АС = 12 см, ВС = 16 см.
Вне плоскости (ABC) взята точка М, такая что MA = MB = МС = 10 см.
Найти:
а) расстояние от точки М до вершин треугольника ABC;
б) расстояние от точки М до прямой ВС;
в) углы:
1) ∠(MA, (ABC));
2) ∠(MC, (ABC));
3) ∠((MAB), (ABC));
4) ∠((MAC), (ABC)).
Решение:
1. Расстояние от точки М до вершин треугольника ABC.
Точка М удалена от всех вершин треугольника на одинаковое расстояние, равное 10 см. То есть, MA = MB = MC = 10 см. Это указывает на то, что точка М лежит на сфере, радиус которой равен 10 см и центр которой находится в центре описанной окружности треугольника ABC.
Теперь найдем радиус описанной окружности треугольника ABC. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности вычисляется по формуле:
R = AB / 2,
где AB — гипотенуза треугольника. Найдем гипотенузу AB с помощью теоремы Пифагора:
AB² = AC² + BC² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400,
AB = √400 = 20 см.
Таким образом, радиус описанной окружности:
R = 20 / 2 = 10 см.
Ответ: Расстояние от точки М до вершин треугольника ABC равно 10 см.
2. Расстояние от точки М до прямой ВС.
Для нахождения расстояния от точки М до прямой ВС, используем теорему о расстоянии от точки до прямой в пространстве. Вектор BC лежит в плоскости треугольника ABC, а точка М не лежит в этой плоскости, поэтому расстояние от М до прямой BC равно длине перпендикуляра, проведенного от точки М к прямой BC.
Вектор BC = C - B = (12, 0, 0) - (16, 0, 0) = (-4, 0, 0).
Вектор MB = M - B = (0, 0, 10) - (16, 0, 0) = (-16, 0, 10).
Теперь находим векторное произведение MB × BC:
MB × BC = |i j k |
|-16 0 10|
|-4 0 0|
= i(0 * 0 - 10 * 0) - j(-16 * 0 - 10 * (-4)) + k(-16 * 0 - 0 * (-4))
= i(0) - j(40) + k(0)
= -40j.
Теперь находим модуль векторного произведения:
|MB × BC| = √((-40)²) = 40.
Модуль вектора BC:
|BC| = √((-4)² + 0² + 0²) = 4.
Расстояние от точки М до прямой BC:
d = |MB × BC| / |BC| = 40 / 4 = 10 см.
Ответ: Расстояние от точки М до прямой ВС равно 10 см.
3. Углы между векторами и плоскостью.
Теперь найдем углы между векторами и плоскостью треугольника.
3.1. Угол ∠(MA, (ABC)).
Для нахождения угла между вектором MA и плоскостью (ABC) можно воспользоваться тем, что угол между вектором и плоскостью равен углу между вектором и нормалью к плоскости. Нормаль к плоскости можно найти, вычислив векторное произведение векторов AC и BC.
Вектор AC = C - A = (12, 0, 0).
Вектор BC = B - C = (16, 0, 0) - (12, 0, 0) = (4, 0, 0).
Нормаль к плоскости (ABC):
N = AC × BC = |i j k|
|12 0 0|
|4 0 0|
= i(0) - j(0) + k(0) = (0, 0, 0).
Таким образом, нормаль к плоскости существует, и мы можем вычислить угол между вектором MA и плоскостью, используя ранее найденные значения.