Дано:
- Две параллельные плоскости а и в касаются сферы с центром О.
- Прямая а проходит через центр сферы, образует с плоскостью а угол 45° и пересекает плоскости а и в в точках А и В.
- АВ = 10√2 см.
Найти: радиус шара (R).
Решение:
1. Рассмотрим геометрическую ситуацию.
Пусть радиус шара равен R, и центр шара — точка О.
Плоскости а и в параллельны, и сфера касается этих плоскостей.
Прямая а проходит через центр сферы и образует угол 45° с плоскостью а.
Пусть точка пересечения прямой а с плоскостью а — это точка А, а с плоскостью в — точка В.
Расстояние между точками А и В равно 10√2 см.
2. Важно заметить, что прямая а, образуя угол 45° с плоскостью а, проходит через центр сферы, и поэтому точка О лежит на этой прямой. Также эта прямая перпендикулярна расстоянию от центра сферы до плоскости а. Поэтому можно рассматривать треугольник ОАВ, в котором О — центр шара, А — точка на плоскости а, а В — точка на плоскости в.
3. В этом треугольнике ОА и ОВ — радиусы шара (то есть равны R), а АВ — это расстояние между точками А и В, равное 10√2 см. Прямая а делит треугольник пополам, потому что она проходит через центр сферы и перпендикулярна расстоянию от центра до плоскости а.
4. Поскольку угол между прямой а и плоскостью а составляет 45°, то треугольник ОАВ является прямоугольным, с прямым углом в точке О.
5. Применим теорему Пифагора к этому прямоугольному треугольнику ОАВ:
ОА² + ОВ² = АВ².
6. Подставим известные данные:
R² + R² = (10√2)²,
2R² = 100 × 2,
2R² = 200,
R² = 100,
R = 10 см.
Ответ: радиус шара равен 10 см.