Дано:
- Две параллельные плоскости а и в касаются сферы с центром О.
- Прямая а проходит через центр сферы и образует с плоскостью а угол 60°.
- Прямая а пересекает плоскости а и в в точках А и Б соответственно.
- АВ = 10√3.
Найти: радиус шара.
Решение:
1. Обозначим радиус шара как R. Центр шара — точка О.
2. Пусть О — центр сферы, и прямую а, которая проходит через центр сферы, можно рассматривать как ось, которая перпендикулярна плоскостям а и в. Прямая а пересекает плоскость а в точке А и пересекает плоскость в в точке Б.
3. Из условия задачи известно, что угол между прямой а и плоскостью а равен 60°. Следовательно, прямая а образует угол 60° с перпендикулярным направлением от точки О к плоскости а.
4. Важным моментом является то, что расстояние между плоскостями а и в (по сути, это два параллельных плоскости) равно 2R, так как сфера касается обеих плоскостей. Плоскости касаются сферы, значит, расстояние между ними равно 2R (двойной радиус).
5. Теперь рассмотрим треугольник ОАВ. Это прямоугольный треугольник, где:
- ОА — это радиус сферы, то есть R,
- ОВ — также радиус сферы, то есть R,
- АВ — это отрезок, который мы знаем, и равен 10√3.
6. В этом прямоугольном треугольнике можно применить теорему Пифагора:
(АВ)² = (ОА)² + (ОВ)².
Подставим известные значения:
(10√3)² = R² + R².
300 = 2R².
R² = 150.
R = √150.
R = 5√6.
Ответ: радиус шара равен 5√6.