Дано:
- Катеты прямоугольного треугольника 6 см и 8 см.
- Треугольник вращается вокруг меньшего катета (6 см), образуя конус.
Необходимо найти:
а) Расстояние от центра основания до образующей конической поверхности.
б) Площадь сечения, параллельного основанию и удаленного от вершины на 1,5 см.
в) Площадь осевого сечения.
Решение:
а) Расстояние от центра основания до образующей конической поверхности:
1. При вращении прямоугольного треугольника вокруг меньшего катета (6 см) образуется конус.
Радиус основания конуса будет равен большему катету (8 см).
Образующая конуса (g) — это гипотенуза прямоугольного треугольника, в котором катеты — это радиус основания (8 см) и высота конуса (6 см).
2. Находим образующую конуса по теореме Пифагора:
g = √(6² + 8²)
= √(36 + 64)
= √100
= 10 см.
3. Расстояние от центра основания до образующей — это радиус основания, который равен 8 см.
Ответ: расстояние от центра основания до образующей конической поверхности равно 8 см.
б) Площадь сечения, параллельного основанию и удаленного от вершины на 1,5 см:
1. Площадь сечения, параллельного основанию, будет уменьшаться пропорционально удалению от вершины. Это происходит, потому что конус является подобным телом.
2. Для определения радиуса сечения на расстоянии 1,5 см от вершины, используем пропорцию, основанную на подобии конуса и сечения. Высота конуса (h) равна 6 см. Пусть r — радиус сечения на высоте 1,5 см.
3. Пропорция между радиусами оснований и высотами:
r / 8 = (6 - 1,5) / 6
r / 8 = 4,5 / 6
r = 8 * (4,5 / 6)
= 6 см.
4. Площадь сечения будет равна площади круга с радиусом r. Формула площади круга:
S = π * r²
= π * 6²
= 36π см².
Ответ: Площадь сечения равна 36π см².
в) Площадь осевого сечения:
1. Осевое сечение конуса — это треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса (2 * 8 = 16 см), а высота — это высота конуса (6 см).
2. Площадь треугольника вычисляется по формуле:
S = 1/2 * основание * высота
= 1/2 * 16 * 6
= 48 см².
Ответ: Площадь осевого сечения равна 48 см².
Итоговые ответы:
а) Расстояние от центра основания до образующей конической поверхности: 8 см.
б) Площадь сечения, параллельного основанию и удаленного от вершины на 1,5 см: 36π см².
в) Площадь осевого сечения: 48 см².