Дано:
- Радиус основания конуса: R
- Высота конуса: h = R√3
- Хорда основания конуса AB стягивает дугу в 90°, т.е. угол между точками A и B на окружности основания 90°.
- Угол между плоскостью РАВ и плоскостью основания конуса равен α.
Найти: tg(α).
Решение:
1. Рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось и через хорду AB. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого — хорда AB, а вершина — точка Р. Так как дуга AB стягивает угол 90°, то хорда AB перпендикулярна радиусам, проведенным в точки A и B.
2. Из геометрии круга известно, что длина хорды AB, стягивающей угол 90°, равна R√2, так как хорда и радиус основания образуют прямой угол.
3. Теперь перейдем к треугольнику, который образует сечение конуса. В нем основание — это хорда AB, высота — это высота конуса h = R√3. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник с катетами, равными R и R√3.
4. Угол α — это угол между плоскостью РАВ и плоскостью основания, т.е. угол между вектором, направленным по высоте конуса, и основанием этого конуса. Мы можем найти tg(α), используя отношение противолежащего катета (высоту конуса) к прилежащему катету (радиусу основания).
tg(α) = противолежащий катет / прилежащий катет
= h / R
= R√3 / R
= √3.
Ответ: tg(α) = √3.