Дано:
- Основание прямой призмы — ромб с углом 45°.
- Длины сторон ромба равны a.
- Высота призмы — h.
Найти: развертку прямой призмы.
Решение:
1. Для начала рассмотрим фигуру основания — ромб. У ромба все стороны одинаковы, и угол между соседними сторонами равен 45°. Чтобы найти диагонали ромба, воспользуемся тем, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его на четыре равных прямоугольных треугольника.
Диагонали ромба можно найти с помощью теоремы Пифагора. Обозначим диагонали ромба через d₁ и d₂. В каждом прямоугольном треугольнике, образованном диагоналями, гипотенуза будет равна стороне ромба (a), а катеты — половины диагоналей:
- Половина диагонали d₁ будет равна d₁/2.
- Половина диагонали d₂ будет равна d₂/2.
Так как угол между диагоналями 90°, теорема Пифагора даёт:
(a)² = (d₁/2)² + (d₂/2)².
Поскольку угол между диагоналями ромба равен 45°, мы знаем, что диагонали ромба равны по длине, то есть:
d₁ = d₂.
Таким образом, у нас получается:
a² = (d₁/2)² + (d₁/2)² = (d₁²)/2.
Отсюда находим диагональ ромба:
d₁ = d₂ = a√2.
2. Теперь, чтобы построить развертку прямой призмы, нам нужно учесть, что развертка состоит из прямоугольников и двух равнобедренных треугольников, образующих боковые поверхности призмы.
- Сначала определим три прямоугольника:
- Два прямоугольника с размерами a × h (по бокам).
- Один прямоугольник с размерами d₁ × h (вдоль основания ромба).
3. Развертка будет следующей:
- Центральный прямоугольник с размерами d₁ × h будет размещен горизонтально, его стороны будут равны диагонали ромба и высоте призмы.
- Два прямоугольника с размерами a × h будут расположены по бокам от центрального прямоугольника, их стороны будут равны стороне ромба и высоте призмы.
- Разворачиваем ромб в его диагонали, и соединяем все элементы развертки.
Ответ: Развертка прямой призмы будет представлять собой три прямоугольника:
1. Центральный прямоугольник с размерами a√2 × h.
2. Два боковых прямоугольника с размерами a × h, размещенные по бокам.