Дано:
- Прямая треугольная призма с боковыми рёбрами, расстояния между которыми равны 5, 7 и 10 единиц.
- Необходимо доказать, что в основании этой призмы находится тупоугольный треугольник.
Решение:
1. Обозначим вершины треугольной призмы как A, B, C (на основании) и A1, B1, C1 (на боковых гранях).
Расстояния между боковыми рёбрами AA1, BB1, CC1 равны 5, 7 и 10 соответственно.
2. Эти расстояния между рёбрами призмы — это длины перпендикуляров, опущенных из точек A, B, C на противоположные боковые рёбра, т.е. они представляют собой расстояния между параллельными прямыми.
3. Рассмотрим треугольник, образованный проекциями точек A1, B1 и C1 на плоскость основания (на плоскости ABC). Этот треугольник является ортогональным, так как боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию.
4. Для доказательства того, что основание призмы (треугольник ABC) является тупоугольным, воспользуемся теоремой косинусов для треугольника, образованного точками A, B и C.
5. Пусть стороны треугольника ABC равны следующим образом:
- AB = 5 (расстояние между точками A и B),
- BC = 7 (расстояние между точками B и C),
- CA = 10 (расстояние между точками C и A).
6. Применим теорему косинусов к треугольнику ABC. Рассчитаем косинус угла между сторонами AB и AC:
cos(∠BAC) = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC)
cos(∠BAC) = (5² + 10² - 7²) / (2 * 5 * 10)
cos(∠BAC) = (25 + 100 - 49) / (100)
cos(∠BAC) = 76 / 100
cos(∠BAC) = 0.76
Следовательно, угол ∠BAC является острым (так как cos(∠BAC) > 0).
7. Теперь применим теорему косинусов для угла между сторонами BC и AB:
cos(∠ABC) = (AB² + BC² - CA²) / (2 * AB * BC)
cos(∠ABC) = (5² + 7² - 10²) / (2 * 5 * 7)
cos(∠ABC) = (25 + 49 - 100) / (70)
cos(∠ABC) = -26 / 70
cos(∠ABC) = -0.3714
Это значение косинуса отрицательное, следовательно, угол ∠ABC тупой.
8. Поскольку угол ∠ABC тупой, то треугольник ABC является тупоугольным.
Ответ: основание треугольной призмы — тупоугольный треугольник.