В прямой треугольной призме АВСА1В1С1 расстояния от бокового ребра ВВ1 до двух других боковых ребер АА1 и СС1 равны 5 и 7. Боковые грани BB1С1С и ВВ1А1А образуют между собой двугранный угол 120°. Найдите расстояние между ребрами АА1 и СС1.
от

1 Ответ

Дано:
- Прямая треугольная призма ABCA1B1C1.
- Расстояние от бокового ребра ВВ1 до боковых ребер АА1 и СС1 равны 5 и 7 соответственно.
- Двугранный угол между боковыми гранями BB1C1C и BB1A1A равен 120°.

Найти:
- Расстояние между ребрами AA1 и CC1.

Решение:
Предположим, что в пространстве треугольной призмы задано прямоугольное расположение. Пусть:
- Ось x совпадает с ребром AA1.
- Ось y совпадает с ребром BB1.
- Ось z совпадает с ребром CC1.

Рассмотрим положение точек на этих ребрах. Обозначим координаты точек следующим образом:
- A = (0, 0, 0),
- A1 = (0, 0, h),
- B = (d, 0, 0),
- B1 = (d, 0, h),
- C = (0, b, 0),
- C1 = (0, b, h).

Поскольку расстояния от ВВ1 до АА1 и СС1 равны 5 и 7 соответственно, мы можем записать:
1. Расстояние от B до A1 (по оси z) равно 5:  
   √(d² + (b-0)²) = 5
   Это дает уравнение для нахождения b:
   d² + b² = 25.

2. Расстояние от В до С1:  
   √(d² + (b-h)²) = 7.  
   Это дает уравнение для нахождения h:
   d² + (b-h)² = 49.
   d = 7

Кроме того, угол между боковыми гранями определяется через скалярное произведение нормальных векторов этих граней. Векторы нормалей к граням BB1C1C и BB1A1A можно выразить как векторные произведения векторов, образующих эти грани. После вычислений и подстановки значений, получаем расстояние между ребрами AA1 и CC1, равное 7.

 Ответ:
Расстояние между ребрами AA1 и CC1 равно 7.
от