Дано:
- Прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
- AB = 2 м, AD = 3 м, AA1 = 4 м.
Найти:
- Тангенс угла наклона плоскости (B1C1D1) к плоскости (ABCD).
Решение:
Для нахождения угла наклона плоскости (B1C1D1) к плоскости (ABCD) нужно вычислить угол между нормалями этих плоскостей.
1. Векторы нормалей плоскости (ABCD) и плоскости (B1C1D1):
- Плоскость (ABCD) лежит в горизонтальной плоскости, поэтому её нормаль направлена вдоль оси z. Нормаль к плоскости (ABCD) будет вектором, перпендикулярным всем векторами, лежащим в плоскости. Векторы на плоскости (ABCD) можно взять как AB и AD.
Вектор AB = (2, 0, 0), вектор AD = (0, 3, 0).
Нормаль к плоскости (ABCD) будет направлена по оси z:
Нормаль к плоскости (ABCD): N1 = (0, 0, 1).
- Плоскость (B1C1D1) проходит через точки B1, C1 и D1, и её нормаль можно найти через векторы B1B и B1D. Поскольку вектор B1B = (2, 0, 4), а вектор B1D = (0, 3, 4), то нормаль к плоскости (B1C1D1) будет равна векторному произведению этих двух векторов.
Векторное произведение:
N2 = B1B × B1D = |i j k |
|2 0 4 |
|0 3 4 |
N2 = i(0*4 - 3*4) - j(2*4 - 4*0) + k(2*3 - 0*0)
= -12i - 8j + 6k.
Таким образом, нормаль к плоскости (B1C1D1) будет N2 = (-12, -8, 6).
2. Нахождение угла между плоскостями:
Угол между двумя плоскостями можно найти через угол между их нормалями. Косинус угла между нормалями N1 и N2 определяется по формуле:
cos(θ) = (N1 • N2) / (|N1| * |N2|),
где • — скалярное произведение, а |N| — длина вектора.
Скалярное произведение N1 • N2:
N1 • N2 = (0 * -12) + (0 * -8) + (1 * 6) = 6.
Длины векторов:
|N1| = √(0² + 0² + 1²) = 1,
|N2| = √((-12)² + (-8)² + 6²) = √(144 + 64 + 36) = √244.
Теперь можем найти cos(θ):
cos(θ) = 6 / (1 * √244) = 6 / √244.
Угол θ:
θ = arccos(6 / √244).
3. Нахождение тангенса угла наклона:
Тангенс угла наклона плоскости (B1C1D1) к плоскости (ABCD) равен тангенсу угла между нормалями этих плоскостей, который можно найти как:
tan(θ) = √(1 - cos²(θ)) / cos(θ).
Подставляем значение cos(θ):
cos(θ) = 6 / √244,
tan(θ) = √(1 - (6 / √244)²) / (6 / √244).
Посчитаем численно:
tan(θ) ≈ √(1 - (6² / 244)) / (6 / √244)
≈ √(1 - 36 / 244) / (6 / √244)
≈ √((244 - 36) / 244) / (6 / √244)
≈ √(208 / 244) / (6 / √244)
≈ √(0.8537) / (6 / √244)
≈ 0.923 / (6 / 15.62)
≈ 0.923 / 0.384
≈ 2.4.
Ответ:
Тангенс угла наклона плоскости (B1C1D1) к плоскости (ABCD) равен 2.4.