Дано:
AB = 4
AD = 5
∠A = 45°
h = 3√2 - высота параллелепипеда
Найти:
tg α - тангенс угла наклона плоскости (B1C1D) к плоскости (ABCD)
Решение:
Найдем диагональ BD параллелограмма ABCD: BD = √(AB^2 + AD^2 - 2 * AB * AD * cos∠A) = √(4^2 + 5^2 - 2 * 4 * 5 * cos45°) = √(41 - 20√2)
Найдем высоту параллелепипеда, опущенную из точки B1 на плоскость ABCD. Эта высота совпадает с высотой BB1 параллелограмма BB1D1D.
Найдем площадь параллелограмма BB1D1D: S = BB1 * BD = h * BD = 3√2 * √(41 - 20√2)
Площадь параллелограмма BB1D1D также равна произведению основания B1D1 на высоту BB1, опущенную на это основание.
Найдем B1D1: B1D1 = BD = √(41 - 20√2)
Найдем высоту BB1: BB1 = S / B1D1 = (3√2 * √(41 - 20√2)) / √(41 - 20√2) = 3√2
Тангенс угла наклона плоскости (B1C1D) к плоскости (ABCD) равен отношению высоты BB1 к основанию B1D1: tg α = BB1 / B1D1 = (3√2) / √(41 - 20√2)
Ответ:
tg α = (3√2) / √(41 - 20√2)