Дано:
- АВ = 3 м
- AD = 4 м
- АА1 = 2 м
Найти: тангенс угла наклона плоскости (A1B1C) к плоскости (ABCD).
Решение:
1. Определим координаты вершин прямоугольного параллелепипеда в системе координат (x, y, z). Пусть точка A расположена в начале координат (0, 0, 0), тогда координаты других точек будут следующие:
- A (0, 0, 0)
- B (3, 0, 0)
- D (0, 4, 0)
- A1 (0, 0, 2)
- B1 (3, 0, 2)
- C (3, 4, 0)
- C1 (3, 4, 2)
- D1 (0, 4, 2)
2. Чтобы найти угол наклона плоскости (A1B1C) к плоскости (ABCD), нам нужно найти угол между нормальными векторами этих плоскостей.
- Нормальный вектор плоскости (ABCD) можно получить из векторного произведения двух векторов, лежащих в этой плоскости. Например, возьмем векторы AB и AD:
AB = (3, 0, 0)
AD = (0, 4, 0)
Векторное произведение AB × AD = (0, 0, 12).
Таким образом, нормаль к плоскости (ABCD) будет направлена по вектору (0, 0, 12), то есть она будет параллельна оси z.
- Теперь найдем нормальный вектор плоскости (A1B1C). Для этого возьмем два вектора, лежащие в этой плоскости:
A1B1 = (3, 0, 2)
A1C = (3, 4, 2)
Векторное произведение A1B1 × A1C = (0, -12, 12).
Нормальный вектор к плоскости (A1B1C) будет пропорционален вектору (0, -12, 12).
3. Теперь можем найти косинус угла между нормалями к двум плоскостям. Для этого используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:
cos(θ) = (n1 · n2) / (|n1| |n2|),
где n1 = (0, 0, 12) и n2 = (0, -12, 12).
Скалярное произведение n1 · n2 = 0*0 + 0*(-12) + 12*12 = 144.
Модуль вектора n1: |n1| = √(0² + 0² + 12²) = 12.
Модуль вектора n2: |n2| = √(0² + (-12)² + 12²) = √(144 + 144) = √288 = 12√2.
cos(θ) = 144 / (12 * 12√2) = 144 / (144√2) = 1 / √2.
Следовательно, θ = 45°.
4. Угол наклона плоскости будет 45°, а тангенс этого угла равен:
tg(θ) = tan(45°) = 1.
Ответ: тангенс угла наклона плоскости (A1B1C) к плоскости (ABCD) равен 1.