Дано:
- Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 м.
- Боковое ребро пирамиды равно 8√2 м.
- Плоскость сечения проходит через точки М — середину отрезка АВ и N — середину отрезка ВС, параллельно ребру PD.
Найти:
- Площадь cечения.
Решение:
1. Геометрия пирамиды
Пирамида правильная, основание представляет собой квадрат с длиной стороны 6 м, а боковое ребро равно 8√2 м. Из условия задачи плоскость сечения параллельна ребру PD, то есть сечение будет прямоугольным и параллельным основаниям пирамиды.
2. Вычисление высоты пирамиды
Для начала найдем высоту пирамиды. Высота пирамиды h находится из прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза — это боковое ребро пирамиды (8√2), а один катет — это расстояние от центра квадрата основания до вершины пирамиды. Центр квадрата лежит на пересечении его диагоналей, а длина диагонали квадрата равна:
d = 6√2 м (по теореме Пифагора).
Полудлина диагонали (расстояние от центра квадрата до его вершины) равна:
r = d / 2 = 6√2 / 2 = 3√2 м.
Используя теорему Пифагора, находим высоту пирамиды h:
h = √[(8√2)² - (3√2)²] = √[128 - 18] = √110 ≈ 10.488 м.
3. Плоскость сечения
Сечение пирамиды проходит через точки М и N, являющиеся серединами отрезков АВ и ВС. Плоскость сечения параллельна ребру PD, то есть она проходит через середины ребер основания. Это означает, что сечение будет прямоугольным и его длина и ширина будут пропорциональны размеру основания пирамиды.
Площадь сечения будет пропорциональна площади основания. Сначала вычислим отношение масштабов между основанием пирамиды и сечением. Плоскость сечения делит пирамиду на две части, и отношение высоты сечения (которое равно половине высоты пирамиды) к полной высоте будет 1:2, так как сечение проходит через середины сторон основания.
4. Площадь основания пирамиды
Площадь основания квадрата с длиной стороны 6 м равна:
S_основания = 6² = 36 м².
5. Площадь сечения
Площадь сечения будет пропорциональна площади основания. Так как сечение проходит через середины ребер, то его размеры будут уменьшены в два раза по сравнению с размерами основания, и площадь сечения будет в 4 раза меньше площади основания.
Таким образом, площадь сечения будет:
S_сечения = S_основания / 4 = 36 / 4 = 9 м².
Ответ: площадь сечения равна 9 м².