Дано:
- Пирамида РАВС, где грани РАВ и ABC перпендикулярны.
- В треугольнике РАВ ∠P = 90°, РА = РВ = 2.
- Треугольник ABC правильный.
Найти: объем пирамиды РАВС.
Решение:
1. Геометрия треугольника РАВ:
Треугольник РАВ прямоугольный, где ∠РАВ = 90°, РА = РВ = 2. Для нахождения длины гипотенузы АВ используем теорему Пифагора:
АВ² = РА² + РВ²
АВ² = 2² + 2² = 4 + 4 = 8
АВ = √8 = 2√2.
2. Геометрия треугольника ABC:
Треугольник ABC правильный, значит, все его стороны равны. Так как АВ = 2√2, то все стороны треугольника ABC равны 2√2.
3. Площадь основания пирамиды:
Основание пирамиды — это правильный треугольник ABC. Площадь правильного треугольника с длиной стороны a можно найти по формуле:
S = (a²√3) / 4.
Подставляем a = 2√2:
S = ((2√2)² * √3) / 4
S = (8 * √3) / 4 = 2√3.
4. Высота пирамиды:
Грани РАВ и ABC перпендикулярны, значит, высота пирамиды — это расстояние от вершины Р до основания ABC. Для нахождения высоты используем формулу объема пирамиды:
V = (1/3) * S * h,
где V — объем пирамиды, S — площадь основания, h — высота. Чтобы найти h, заметим, что из геометрии треугольника РАВ высота пирамиды будет равна высоте треугольника РАВ, так как грани РАВ и ABC перпендикулярны.
Мы уже знаем, что высота треугольника РАВ — это катет прямоугольного треугольника РАВ, то есть h = РА = 2.
5. Объем пирамиды:
Подставляем значения в формулу объема:
V = (1/3) * 2√3 * 2
V = (1/3) * 4√3
V = (4√3) / 3.
Ответ: объем пирамиды РАВС равен (4√3) / 3.