Дано:
- Все боковые ребра пирамиды равны 13.
- В основании пирамиды — прямоугольник с диагональю 24 и углом между диагоналями 30°.
- Нужно найти объем пирамиды.
Решение:
1. Рассмотрим основание пирамиды. Оно является прямоугольником. Обозначим стороны прямоугольника как a и b, диагональ которого равна 24.
Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой, равной диагонали:
a² + b² = 24² = 576.
2. Заданный угол между диагоналями прямоугольника равен 30°. Это означает, что угол между диагоналями прямоугольника составляет 30°, и мы можем использовать формулу для косинуса угла между диагоналями прямоугольника:
cos(30°) = (a² + b²) / (2ab).
Известно, что cos(30°) = √3 / 2. Подставим это значение в формулу:
√3 / 2 = 576 / (2ab).
Решая относительно ab:
ab = 576 / (√3 / 2) = 576 * 2 / √3 = 1152 / √3.
Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на √3:
ab = (1152 * √3) / 3 = 384√3.
Таким образом, площадь основания S основания пирамиды равна ab = 384√3.
3. Теперь найдём высоту пирамиды. Поскольку все боковые ребра пирамиды равны 13, то образуется прямой треугольник, в котором одна из сторон — это боковое ребро пирамиды, равное 13, а другая сторона — это высота пирамиды. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты пирамиды, используя половину диагонали основания (половина диагонали — это половина от 24, то есть 12) как один из катетов прямого треугольника, а боковое ребро пирамиды как гипотенузу.
Пусть h — высота пирамиды. Тогда применим теорему Пифагора:
h² + 12² = 13².
h² + 144 = 169.
h² = 169 - 144 = 25.
h = 5.
4. Теперь можем найти объем пирамиды, используя формулу для объема пирамиды:
V = (1/3) * S * h,
где S — площадь основания, а h — высота.
Подставим известные значения:
V = (1/3) * 384√3 * 5 = (1/3) * 1920√3 = 640√3.
Ответ: объем пирамиды равен 640√3.