Дано:
l = 17 - боковое ребро пирамиды
S = 225√3 - площадь основания пирамиды
α = 60° - угол между диагоналями основания
Найти:
V - объем пирамиды
Решение:
Пусть ABCD - прямоугольник в основании пирамиды, O - точка пересечения диагоналей.
Треугольник AOB - равнобедренный, так как AO = BO как половины диагоналей прямоугольника.
∠AOB = α = 60°, значит, треугольник AOB - равносторонний.
Значит, AB = AO = BO.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: S = AB * BC = AB^2.
Тогда AB = √S = √(225√3) = 15√3.
Высота пирамиды, опущенная из вершины на основание, проходит через точку O, так как треугольник AOB - равносторонний.
Пусть H - основание высоты пирамиды.
Треугольник AOH - прямоугольный, AO = AB = 15√3, AH = AB/2 = 15√3 / 2.
По теореме Пифагора: OH = √(AO^2 - AH^2) = √((15√3)^2 - (15√3 / 2)^2) = 15√3 / 2.
Треугольник SOН - прямоугольный, SO = l = 17, OH = 15√3 / 2.
По теореме Пифагора: SH = √(SO^2 - OH^2) = √(17^2 - (15√3 / 2)^2) = √(289 - 675/4) = √(1161/4) = √1161 / 2.
Объем пирамиды: V = (1/3) * S * SH = (1/3) * 225√3 * (√1161 / 2) = 75√3 * √1161 / 2 = (75√3383) / 2.
Ответ:
V = (75√3383) / 2.