Дано:
- Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 и катетом 8.
- Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 60°.
- Нужно найти объем пирамиды.
Решение:
1. Находим второй катет основания.
Основание — прямоугольный треугольник, известен один катет (a = 8) и гипотенуза (c = 10). Используем теорему Пифагора, чтобы найти второй катет (b):
a² + b² = c².
8² + b² = 10².
64 + b² = 100.
b² = 100 - 64 = 36.
b = √36 = 6.
Итак, второй катет основания равен 6.
2. Находим площадь основания.
Площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b вычисляется по формуле:
S_основания = (1/2) * a * b.
S_основания = (1/2) * 8 * 6 = 24.
3. Находим высоту пирамиды.
Зная угол наклона боковых граней пирамиды (60°), мы можем найти высоту пирамиды, если учесть, что боковая грань наклонена под углом 60° к основанию. Боковая грань образует с высотой пирамиды прямой угол, и мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты.
Обозначим h — высоту пирамиды, и пусть l — длина бокового ребра. Для боковой грани угол наклона 60°.
Используем формулу для высоты в прямоугольном треугольнике, где l — гипотенуза, а h — противолежащий катет:
sin(60°) = h / l.
sin(60°) = √3 / 2, поэтому:
√3 / 2 = h / 13.
h = 13 * √3 / 2 ≈ 13 * 1.732 / 2 ≈ 11.26 см.
4. Находим объем пирамиды.
Объем пирамиды вычисляется по формуле:
V = (1/3) * S_основания * h.
V = (1/3) * 24 * 11.26 ≈ 24 * 3.75 = 90.
Ответ: объем пирамиды примерно равен 90 см³.