Все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 45°. В основании пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите объем пирамиды.
от

1 Ответ

Дано:
- Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 м и 8 м.
- Боковые грани наклонены к основанию под углом 45°.

Найти объем пирамиды.

1. Площадь основания
Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 м и 8 м. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

S_осн = (a * b) / 2,  
где a и b — катеты треугольника.

Подставляем значения:  
S_осн = (6 * 8) / 2 = 24 м².

2. Высота пирамиды
Для нахождения высоты пирамиды нам нужно использовать информацию о наклоне боковых граней. Мы знаем, что угол наклона боковых граней к основанию равен 45°. Это означает, что высота пирамиды и длина апофемы (расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания) образуют с наклонной стороной прямой угол.

Обозначим высоту пирамиды через h, а апофему через l. Из геометрии известно, что при наклоне граней под углом 45°, высота и апофема равны. То есть:
h = l.

Для нахождения апофемы используем теорему Пифагора. Сначала найдем длину гипотенузы основания треугольника (катетов 6 м и 8 м). Она будет равна:
c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 м.

Так как боковые грани пирамиды наклонены под углом 45° к основанию, высота и апофема равны, и мы можем найти высоту через апофему. Для этого используем формулу для высоты пирамиды через площадь основания и угол наклона:

h = S_осн / (1/2 * c),  
где S_осн — площадь основания, c — длина гипотенузы основания.
h = 24 / (1/2 * 10) = 24 / 5 = 4.8 м.

3. Объем пирамиды
Объем пирамиды вычисляется по формуле:
V = (1/3) * S_осн * h.

Подставляем значения:
V = (1/3) * 24 * 4.8 = 38.4 м³.

Ответ: объем пирамиды равен 38.4 м³.
от