Дано:
- Высота конуса H = 12 м.
- Образующая конуса l = 13 м.
- Конус пересечен плоскостью, параллельной плоскости основания, делящей его высоту в отношении 1:4 от вершины.
Найти: объем усеченного конуса.
Решение:
1. Найдем радиус основания конуса.
Известно, что конус является правильным, и его образующая, радиус основания и высота образуют прямоугольный треугольник. Используем теорему Пифагора для нахождения радиуса основания R:
l² = R² + H².
Подставляем значения:
13² = R² + 12²,
169 = R² + 144,
R² = 169 - 144 = 25,
R = √25 = 5 м.
Итак, радиус основания конуса R = 5 м.
2. Найдем радиус верхнего основания усеченного конуса.
Плоскость пересекает конус в такой точке, что отношение высоты от вершины до плоскости разделяет высоту конуса в отношении 1:4. Это значит, что от вершины до плоскости сечения высота будет равна H/5 = 12/5 = 2.4 м, а оставшаяся часть высоты конуса (от плоскости сечения до основания) будет равна 4H/5 = 4 * 12 / 5 = 9.6 м.
Поскольку сечение параллельно основанию, радиус верхнего основания будет пропорционален радиусу основания конуса, и это пропорциональное отношение равно отношению высот:
r' / R = 2.4 / 12 = 1 / 5,
где r' — радиус верхнего основания усеченного конуса. Тогда:
r' = R * 1/5 = 5 * 1/5 = 1 м.
Итак, радиус верхнего основания усеченного конуса r' = 1 м.
3. Найдем объем усеченного конуса.
Объем усеченного конуса можно найти по формуле:
V = (1/3)πh(R² + Rr' + r'²),
где h — высота усеченного конуса, R — радиус нижнего основания, r' — радиус верхнего основания.
Подставляем известные значения:
V = (1/3)π * 9.6 * (5² + 5 * 1 + 1²),
V = (1/3)π * 9.6 * (25 + 5 + 1),
V = (1/3)π * 9.6 * 31,
V = (1/3) * 9.6 * 31π,
V = 3.2 * 31π,
V = 99.2π м³.
Ответ: объем усеченного конуса равен 99.2π м³.