Дано:
- Радиус основания конуса r = 5 м
- Образующая конуса l = 13 м
- Плоскость пересекает конус, деля его высоту в отношении 2 : 3, считая от вершины
Найти: объем получившегося усеченного конуса.
Решение:
1. Найдем высоту конуса.
Для этого используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, где катеты — радиус основания и высота конуса, а гипотенуза — образующая конуса.
h = √(l² - r²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 м.
Таким образом, высота конуса h = 12 м.
2. Определим высоту усеченного конуса.
Плоскость пересекает конус и делит его высоту в отношении 2 : 3. Это означает, что:
- Высота от вершины до сечения h₁ = 2/5 * 12 = 4,8 м.
- Высота усеченной части конуса h₂ = 3/5 * 12 = 7,2 м.
3. Определим радиус верхнего основания усеченного конуса.
Поскольку сечение параллельно основанию, радиус верхнего основания будет пропорционален высоте усеченной части. Таким образом, радиус верхнего основания будет равен:
r₂ = (h₂ / h) * r = (7,2 / 12) * 5 = 3 м.
4. Вычислим объем усеченного конуса.
Объем усеченного конуса можно вычислить по формуле:
V = (1/3) * π * h * (r₁² + r₁ * r₂ + r₂²),
где r₁ — радиус нижнего основания, r₂ — радиус верхнего основания, h — высота усеченного конуса.
Подставляем данные:
V = (1/3) * π * 7,2 * (5² + 5 * 3 + 3²)
= (1/3) * π * 7,2 * (25 + 15 + 9)
= (1/3) * π * 7,2 * 49
= (1/3) * π * 352,8
= 117,6 * π.
Ответ: объем усеченного конуса V ≈ 369,3 м³.