Дано:
Сторона ромба a = 4√3 см, угол α = 60°, высота цилиндра h = 2r (где r — радиус вписанного круга).
Найти: площадь поверхности цилиндра.
Решение:
1. Начнем с нахождения радиуса вписанного круга в ромб. В ромбе радиус вписанной окружности можно найти по формуле:
r = a * sin(α) / 2.
Подставим известные значения:
r = (4√3) * sin(60°) / 2.
Известно, что sin(60°) = √3 / 2, подставляем это значение:
r = (4√3) * (√3 / 2) / 2 = 4 * 3 / 4 = 3 см.
2. Высота цилиндра равна диаметру основания, то есть h = 2r = 2 * 3 = 6 см.
3. Теперь найдем площадь поверхности цилиндра. Площадь поверхности цилиндра состоит из двух частей:
- Площадь боковой поверхности.
- Площадь двух оснований цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
S_боковая = 2πrh.
Подставляем известные значения:
S_боковая = 2π(3)(6) = 36π см².
Площадь одного основания (круг) вычисляется по формуле:
S_основание = πr².
Подставляем значение радиуса:
S_основание = π(3)² = 9π см².
4. Площадь поверхности цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности:
S_поверхность = 2S_основание + S_боковая.
Подставляем найденные значения:
S_поверхность = 2(9π) + 36π = 18π + 36π = 54π см².
Ответ: площадь поверхности цилиндра S = 54π см².