Дано:
Сторона ромба a = 6√2 см, угол ромба α = 45°, высота цилиндра h = диаметр основания цилиндра.
Найти: площадь поверхности цилиндра.
Решение:
1. Найдем радиус вписанной окружности.
Основанием цилиндра служит круг, вписанный в ромб. Радиус вписанной окружности ромба можно найти по формуле:
r = a * sin(α) / 2.
Подставим данные:
r = 6√2 * sin(45°) / 2.
Известно, что sin(45°) = √2 / 2, подставим это значение:
r = 6√2 * (√2 / 2) / 2 = 6 / 2 = 3 см.
Таким образом, радиус вписанной окружности, который является радиусом основания цилиндра, равен r = 3 см.
2. Найдем высоту цилиндра.
Высота цилиндра h равна диаметру основания. Диаметр основания цилиндра равен 2r, поэтому:
h = 2 * r = 2 * 3 = 6 см.
3. Найдем площадь поверхности цилиндра.
Площадь поверхности цилиндра состоит из двух частей:
- Площадь боковой поверхности цилиндра.
- Площадь двух оснований цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
S_боковая = 2πrh.
Подставляем значения радиуса и высоты:
S_боковая = 2π * 3 * 6 = 36π см².
Площадь одного основания цилиндра (круг) вычисляется по формуле:
S_основание = πr².
Подставляем радиус:
S_основание = π * 3² = 9π см².
4. Площадь поверхности цилиндра.
Площадь поверхности цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности:
S_поверхность = 2S_основание + S_боковая.
Подставляем значения:
S_поверхность = 2 * 9π + 36π = 18π + 36π = 54π см².
Ответ: площадь поверхности цилиндра S = 54π см².