Дано:
1. Высота наклонной призмы (h) = 6√2 см.
2. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания (α) = 45°.
3. Площадь грани AAB1B = 36 см².
4. Площадь грани AAC1C = 48 см².
5. Двугранный угол при ребре AA1 равен 120°.
Найти:
Объём призмы (V).
Решение:
1. Объём наклонной призмы можно выразить через площадь основания (S) и высоту (h):
V = S * h.
2. Для нахождения площади основания S, воспользуемся площадями боковых граней. Поскольку призма наклонная, площади боковых граней помогут определить площадь основания.
3. Площадь грани AAB1B (S1) равна 36 см², а площадь грани AAC1C (S2) равна 48 см².
4. Поскольку угол между боковыми рёбрами и плоскостью основания равен 45°, высота h1 боковой грани AAB1B будет равна:
h1 = S1 / (a * sin(α)) = 36 / (a * sin(45°)) = 36 / (a * √2 / 2) = 36 * (2 / (a√2)) = 72 / (a√2).
5. Аналогично, высота h2 для грани AAC1C будет равна:
h2 = S2 / (b * sin(α)) = 48 / (b * √2 / 2) = 48 * (2 / (b√2)) = 96 / (b√2).
6. Известно, что высоты h1 и h2 равны высоте наклонной призмы h = 6√2 см.
7. Далее, поскольку двугранный угол при ребре AA1 равен 120°, можем использовать его для нахождения сторон a и b.
8. Стороны a и b можно выразить через высоту и углы. Из теоремы о треугольниках:
a = (72 / (6√2)) * √2 = 12 см.
b = (96 / (6√2)) * √2 = 16 см.
9. Теперь найдем площадь основания S:
S = (1/2) * a * b * sin(120°).
S = (1/2) * 12 * 16 * (√3 / 2) = 96√3 / 4 = 24√3 см².
10. Теперь можем найти объём V:
V = S * h = (24√3) * (6√2) = 144√6 см³.
Ответ:
Объём наклонной призмы равен 144√6 см³.