Дано:
- Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды (R) = 6 см.
- Угол наклона бокового ребра к плоскости основания (α) = 30°.
Найти: площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение:
1. Сначала найдем длину стороны основания правильного треугольника. Для правильного треугольника радиус описанной окружности R и сторона a связаны следующим соотношением:
R = a / (sqrt(3)).
Подставим значение R = 6 см:
6 = a / (sqrt(3)),
a = 6 * sqrt(3) см.
2. Теперь найдем высоту бокового ребра (h). Боковое ребро образует с плоскостью основания угол α = 30°. Высота h можно найти по формуле:
h = l * sin(α),
где l — длина бокового ребра.
3. Чтобы найти длину бокового ребра l, используем теорему Пифагора на треугольнике, образованном высотой piрамиды, радиусом описанной окружности и боковым ребром:
l^2 = h^2 + R^2.
Так как мы не знаем h, мы можем выразить его через l.
4. В таком случае, так как l будет равно образованному треугольнику, запишем разложение:
h = l * sin(30°) = l * (1/2).
5. Подставляем h в уравнение для нахождения бокового ребра:
l^2 = (l * (1/2))^2 + 6^2,
l^2 = (l^2 / 4) + 36.
6. Умножим все на 4 для устранения дроби:
4l^2 = l^2 + 144,
3l^2 = 144,
l^2 = 48,
l = sqrt(48) = 4 * sqrt(3) см.
7. Теперь находим высоту h:
h = l * (1/2) = (4 * sqrt(3)) * (1/2) = 2 * sqrt(3) см.
8. Площадь одной боковой грани правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле:
S боковой грани = (a * h) / 2.
9. Подставим значения:
S боковой грани = (6 * sqrt(3) * 2 * sqrt(3)) / 2 = 6 * 3 = 18 см^2.
10. Так как у пирамиды три боковые грани, общая площадь боковой поверхности:
S боковой поверхности = 3 * S боковой грани = 3 * 18 = 54 см^2.
Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды составляет 54 см^2.