Дано:
Образующая конуса l = 10 см, тангенс угла наклона α равен tg(α) = 3/4.
Найти: площадь поверхности конуса.
Решение:
1. Найдем радиус основания конуса.
Из условия задачи известно, что образующая конуса наклонена к основанию под углом α. Для того, чтобы найти радиус основания, используем тангенс угла наклона, который связан с радиусом и высотой конуса.
Тангенс угла наклона α:
tg(α) = h / r.
Где h — высота конуса, r — радиус основания.
Из условия tg(α) = 3/4, получаем:
h / r = 3 / 4.
Следовательно, h = (3/4) * r.
2. Найдем высоту конуса.
Образующая конуса l, радиус основания r и высота h образуют прямоугольный треугольник, где l — гипотенуза, r — основание, h — высота. Используем теорему Пифагора для нахождения высоты:
l² = r² + h².
Подставим h = (3/4) * r:
l² = r² + ((3/4) * r)².
l² = r² + (9/16) * r².
l² = r² * (1 + 9/16) = r² * (25/16).
Теперь подставим l = 10 см:
10² = r² * (25/16).
100 = (25/16) * r².
r² = (100 * 16) / 25 = 1600 / 25 = 64.
r = √64 = 8 см.
3. Найдем высоту конуса.
Теперь, когда мы нашли радиус основания r = 8 см, можем найти высоту h, используя выражение h = (3/4) * r:
h = (3/4) * 8 = 6 см.
4. Найдем площадь поверхности конуса.
Площадь поверхности конуса состоит из площади его основания и площади боковой поверхности.
- Площадь основания конуса:
S_основание = π * r² = π * 8² = 64π см².
- Площадь боковой поверхности конуса:
S_боковая = π * r * l = π * 8 * 10 = 80π см².
5. Площадь поверхности конуса.
Полная площадь поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:
S_поверхность = S_основание + S_боковая = 64π + 80π = 144π см².
Ответ: площадь поверхности конуса S = 144π см².