Дано:
Объем конуса V = 96π см³.
Отношение высоты h к радиусу основания r равно 4:3, т.е. h/r = 4/3.
Найти: площадь поверхности конуса.
Решение:
1. Найдем радиус и высоту конуса.
Из условия задачи, h/r = 4/3, следовательно, h = (4/3)r.
Объем конуса можно выразить по формуле:
V = (1/3)πr²h.
Подставим h = (4/3)r:
96π = (1/3)πr²(4/3)r.
Упростим:
96π = (4/9)πr³.
Теперь разделим обе части на π:
96 = (4/9)r³.
Умножим обе части на 9:
864 = 4r³.
Разделим обе части на 4:
r³ = 216.
Таким образом, r = 6 см.
Теперь найдем высоту h:
h = (4/3)r = (4/3) * 6 = 8 см.
2. Найдем образующую конуса.
Для нахождения образующей l используем теорему Пифагора, так как образующая, радиус основания и высота образуют прямоугольный треугольник:
l² = r² + h².
Подставим значения r = 6 см и h = 8 см:
l² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
l = √100 = 10 см.
3. Найдем площадь поверхности конуса.
Площадь поверхности конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности.
- Площадь основания:
S_основание = πr² = π * 6² = 36π см².
- Площадь боковой поверхности:
S_боковая = πrl = π * 6 * 10 = 60π см².
4. Площадь поверхности конуса.
Площадь поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:
S_поверхность = S_основание + S_боковая = 36π + 60π = 96π см².
Ответ: площадь поверхности конуса S = 96π см².