Дано:
Площадь поверхности конуса S = 96π см²,
Отношение образующей и радиуса основания равно 5:3,
Необходимо доказать, что объем конуса V = 96π см³.
Найти: объем конуса.
Решение:
1. Площадь поверхности конуса складывается из площади основания и площади боковой поверхности:
S = πr² + πrl,
где r — радиус основания, l — образующая.
2. Из условия задачи, отношение образующей и радиуса основания l/r = 5/3.
Это означает, что l = (5/3)r.
3. Подставим выражение для l в формулу площади поверхности:
S = πr² + πr(5/3)r
S = πr² + (5/3)πr²
S = πr²(1 + 5/3)
S = πr²(8/3).
4. По условию, S = 96π. Подставим это значение:
96π = πr²(8/3).
5. Упростим уравнение:
96 = r²(8/3)
96 * 3 = 8r²
288 = 8r²
r² = 288 / 8
r² = 36
r = 6 см.
6. Теперь найдем образующую l, используя выражение l = (5/3)r:
l = (5/3) * 6 = 10 см.
7. Найдем объем конуса по формуле:
V = (1/3)πr²h,
где h — высота конуса.
8. Используем теорему Пифагора для нахождения высоты. Из прямоугольного треугольника, где l — гипотенуза, r — один катет, а h — другой катет:
l² = r² + h²
10² = 6² + h²
100 = 36 + h²
h² = 100 - 36
h² = 64
h = 8 см.
9. Теперь можем найти объем конуса:
V = (1/3)πr²h
V = (1/3)π(6²)(8)
V = (1/3)π(36)(8)
V = (1/3)π(288)
V = 96π см³.
Ответ: объем конуса равен 96π см³.