Дано:
- Образующая конуса l = 13 см.
- Тангенс угла наклона образующей к основанию tg(θ) = 12/13.
Найти: площадь поверхности конуса.
Решение:
1. Найдем радиус основания конуса.
Тангенс угла наклона образующей к основанию выражается как отношение радиуса основания r к высоте h:
tg(θ) = r / h.
Из условия tg(θ) = 12/13, получаем:
r / h = 12 / 13.
Следовательно, r = (12/13)h.
2. Используем теорему Пифагора для нахождения высоты.
Образующая, радиус и высота образуют прямоугольный треугольник, и можно применить теорему Пифагора:
l² = r² + h².
Подставим l = 13 см и r = (12/13)h:
13² = ((12/13)h)² + h².
Упростим:
169 = (144/169)h² + h².
Приведем к общему знаменателю:
169 = (144/169 + 169/169)h² = (313/169)h².
Умножим обе части на 169:
169 * 169 = 313h².
28561 = 313h².
Теперь разделим обе части на 313:
h² = 28561 / 313 ≈ 91.
h ≈ √91 ≈ 9.5 см.
3. Найдем радиус основания.
Теперь, когда мы знаем высоту, можем найти радиус:
r = (12/13) * h = (12/13) * 9.5 ≈ 8.77 см.
4. Найдем площадь поверхности конуса.
Площадь поверхности конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности.
- Площадь основания:
S_основание = πr² ≈ π * (8.77)² ≈ 243.8 см².
- Площадь боковой поверхности:
S_боковая = πrl ≈ π * 8.77 * 13 ≈ 360.1 см².
5. Площадь поверхности конуса.
Площадь поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:
S_поверхность = S_основание + S_боковая ≈ 243.8 + 360.1 ≈ 603.9 см².
Ответ: площадь поверхности конуса ≈ 603.9 см².