дано:
- длина боковых ребер тетраэдра:
a = 4 м,
b = 5 м,
c = 6 м.
найти:
- площадь поверхности тетраэдра
- объем тетраэдра
решение:
1. Поскольку боковые ребра тетраэдра попарно перпендикулярны, можно считать, что они образуют прямоугольный параллелепипед. Вершины тетраэдра будут находиться в точках (0, 0, 0), (4, 0, 0), (0, 5, 0) и (0, 0, 6).
2. Найдем объем V тетраэдра. Объем тетраэдра с перпендикулярными гранями можно найти по формуле:
V = (1/6) * a * b * c.
Подставим значения:
V = (1/6) * 4 * 5 * 6 = (1/6) * 120 = 20 (м³).
3. Теперь найдем площадь поверхности S тетраэдра. Площадь поверхности складывается из площади четырех треугольников.
4. Найдем площадь каждого треугольника:
- Треугольник с ребрами 4 м, 5 м и 6 м:
Полупериметр p1 = (4 + 5 + 6) / 2 = 7.5.
Площадь S1 = √(p1 * (p1 - 4) * (p1 - 5) * (p1 - 6)).
S1 = √(7.5 * (7.5 - 4) * (7.5 - 5) * (7.5 - 6)) = √(7.5 * 3.5 * 2.5 * 1.5).
S1 = √(98.4375) ≈ 9.92 (м²).
- Треугольник с ребрами 4 м и 5 м (высота 6 м):
Площадь S2 = (1/2) * 4 * 5 = 10 (м²).
- Треугольник с ребрами 4 м и 6 м (высота 5 м):
Площадь S3 = (1/2) * 4 * 6 = 12 (м²).
- Треугольник с ребрами 5 м и 6 м (высота 4 м):
Площадь S4 = (1/2) * 5 * 6 = 15 (м²).
5. Сложим площади всех треугольников:
S = S1 + S2 + S3 + S4.
S = 9.92 + 10 + 12 + 15 = 56.92 (м²).
ответ:
- объем тетраэдра = 20 м³
- площадь поверхности тетраэдра ≈ 56.92 м²