дано:
- длины боковых ребер тетраэдра:
a = 5 дм,
b = 6 дм,
c = 8 дм.
найти:
- площадь поверхности тетраэдра
- объем тетраэдра
решение:
1. Поскольку боковые ребра тетраэдра попарно перпендикулярны, можно считать, что они образуют прямоугольный параллелепипед. Вершины тетраэдра будут находиться в точках (0, 0, 0), (5, 0, 0), (0, 6, 0) и (0, 0, 8).
2. Найдем объем V тетраэдра. Объем тетраэдра с перпендикулярными гранями можно найти по формуле:
V = (1/6) * a * b * c.
Подставим значения:
V = (1/6) * 5 * 6 * 8 = (1/6) * 240 = 40 (дм³).
3. Теперь найдем площадь поверхности S тетраэдра. Площадь поверхности складывается из площади четырех треугольников.
4. Найдем площадь каждого треугольника:
- Треугольник с ребрами 5 дм, 6 дм и 8 дм:
Полупериметр p1 = (5 + 6 + 8) / 2 = 9.5.
Площадь S1 = √(p1 * (p1 - 5) * (p1 - 6) * (p1 - 8)).
S1 = √(9.5 * (9.5 - 5) * (9.5 - 6) * (9.5 - 8)) = √(9.5 * 4.5 * 3.5 * 1.5).
S1 = √(100.3125) ≈ 10.016 (дм²).
- Треугольник с ребрами 5 дм и 6 дм (высота 8 дм):
Площадь S2 = (1/2) * 5 * 6 = 15 (дм²).
- Треугольник с ребрами 5 дм и 8 дм (высота 6 дм):
Площадь S3 = (1/2) * 5 * 8 = 20 (дм²).
- Треугольник с ребрами 6 дм и 8 дм (высота 5 дм):
Площадь S4 = (1/2) * 6 * 8 = 24 (дм²).
5. Сложим площади всех треугольников:
S = S1 + S2 + S3 + S4.
S = 10.016 + 15 + 20 + 24 = 69.016 (дм²).
ответ:
- объем тетраэдра = 40 дм³
- площадь поверхности тетраэдра ≈ 69.016 дм²