дано:
- высота конуса h
- радиус основания конуса R
найти:
- какую часть площади боковой поверхности конуса составляет боковая поверхность усеченного конуса
решение:
1. Найдем площадь боковой поверхности полного конуса. Площадь боковой поверхности S бок = πR * l, где l — образующая конуса. Образующая l можно найти по теореме Пифагора:
l = √(R² + h²).
Таким образом, площадь боковой поверхности полного конуса:
S = πR * √(R² + h²).
2. Теперь рассмотрим усеченный конус. Высота усеченного конуса будет равна h/2. Поскольку сечение параллельно основанию, радиус верхнего основания усеченного конуса R1 можно найти по пропорции.
r = R * (h/2) / h = R/2.
3. Найдем площадь боковой поверхности усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса S1 можно найти по формуле:
S1 = π(R + R1) * l1, где l1 — образующая усеченного конуса.
Образующая усеченного конуса l1 также можно найти по теореме Пифагора:
l1 = √((R - R1)² + (h/2)²) = √((R - R/2)² + (h/2)²) = √((R/2)² + (h/2)²).
Подставим значения:
l1 = √((R² / 4) + (h² / 4)) = (1/2) * √(R² + h²).
Площадь боковой поверхности усеченного конуса:
S1 = π(R + R/2) * (1/2) * √(R² + h²) = π(3R/2) * (1/2) * √(R² + h²) = (3/4)πR√(R² + h²).
4. Теперь найдем отношение площадей боковой поверхности усеченного конуса к площади боковой поверхности полного конуса:
отношение = S1 / S = [(3/4)πR√(R² + h²)] / [πR * √(R² + h²)].
Упрощая, получаем:
отношение = (3/4).
ответ:
- боковая поверхность усеченного конуса составляет 3/4 площади боковой поверхности полного конуса.