дано:
- точки:
B (1; 3; 2),
C (-1; 3; 4),
A (m; 0; 0).
найти:
- при каких значениях m треугольник ABC прямоугольный с прямым углом в C.
решение:
1. Для того чтобы треугольник ABC был прямоугольным с прямым углом в C, должно выполняться следующее условие:
|AB|² + |AC|² = |BC|².
2. Найдем расстояния |AB|, |AC| и |BC|.
- Расстояние |AB|:
|AB| = √((m - 1)² + (0 - 3)² + (0 - 2)²) = √((m - 1)² + (-3)² + (-2)²) = √((m - 1)² + 9 + 4) = √((m - 1)² + 13).
- Расстояние |AC|:
|AC| = √((m - (-1))² + (0 - 3)² + (0 - 4)²) = √((m + 1)² + (-3)² + (-4)²) = √((m + 1)² + 9 + 16) = √((m + 1)² + 25).
- Расстояние |BC|:
|BC| = √((1 - (-1))² + (3 - 3)² + (2 - 4)²) = √((1 + 1)² + (0)² + (2 - 4)²) = √(2² + 0 + (-2)²) = √(4 + 0 + 4) = √8 = 2√2.
3. Теперь запишем уравнение для условия прямоугольного треугольника:
|AB|² + |AC|² = |BC|².
Подставим расстояния:
((m - 1)² + 13) + ((m + 1)² + 25) = (2√2)².
Упростим:
(m - 1)² + (m + 1)² + 38 = 8.
Упростим дальше:
(m - 1)² + (m + 1)² = 8 - 38 = -30.
Поскольку сумма квадратов не может быть отрицательной, проверим вычисления:
(m - 1)² + (m + 1)² = m² - 2m + 1 + m² + 2m + 1 = 2m² + 2.
Получаем:
2m² + 2 + 38 = 8,
2m² + 40 = 8,
2m² = 8 - 40 = -32.
Поскольку m² не может быть отрицательным, нет значений m, при которых треугольник ABC будет прямоугольным с прямым углом в C.
ответ:
- нет значений m, при которых треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом в C.