дано:
- точка A (2; 3; 4).
- точка B (5; -1; 6).
- точка C (7; -2; 1).
- точка D (4; 2; -1).
найти:
- доказать, что ABCD — параллелограмм.
решение:
1. Для доказательства, что ABCD является параллелограммом, необходимо показать, что векторы AB и CD равны, или что векторы AD и BC равны.
2. Найдем векторы AB, BC, CD и AD.
a) Вектор AB:
AB = B - A = (5 - 2; -1 - 3; 6 - 4) = (3; -4; 2).
b) Вектор BC:
BC = C - B = (7 - 5; -2 - (-1); 1 - 6) = (2; -1; -5).
c) Вектор CD:
CD = D - C = (4 - 7; 2 - (-2); -1 - 1) = (-3; 4; -2).
d) Вектор AD:
AD = D - A = (4 - 2; 2 - 3; -1 - 4) = (2; -1; -5).
3. Сравним векторы:
- Векторы AB и CD:
AB = (3; -4; 2),
CD = (-3; 4; -2).
- Векторы AD и BC:
AD = (2; -1; -5),
BC = (2; -1; -5).
4. Мы видим, что векторы AD и BC равны:
AD = BC.
5. Поскольку векторы AD и BC равны, это означает, что стороны AB и CD параллельны и равны по длине, а также стороны AD и BC параллельны и равны по длине.
ответ:
- ABCD является параллелограммом, так как векторы AD и BC равны.