дано:
- точка A (-1; 2; 4).
- точка B (1; -2; 7).
- точка C (6; -1; 5).
- точка D (4; 3; 2).
найти:
- доказать, что ABCD является параллелограммом.
решение:
1. Для доказательства, что ABCD является параллелограммом, необходимо показать, что векторы AB и CD равны, или что векторы AD и BC равны.
2. Найдем векторы AB, BC, CD и AD.
a) Вектор AB:
AB = B - A = (1 - (-1); -2 - 2; 7 - 4) = (1 + 1; -2 - 2; 7 - 4) = (2; -4; 3).
b) Вектор BC:
BC = C - B = (6 - 1; -1 - (-2); 5 - 7) = (5; 1; -2).
c) Вектор CD:
CD = D - C = (4 - 6; 3 - (-1); 2 - 5) = (-2; 4; -3).
d) Вектор AD:
AD = D - A = (4 - (-1); 3 - 2; 2 - 4) = (4 + 1; 3 - 2; 2 - 4) = (5; 1; -2).
3. Сравним векторы:
- Векторы AB и CD:
AB = (2; -4; 3),
CD = (-2; 4; -3).
- Векторы AD и BC:
AD = (5; 1; -2),
BC = (5; 1; -2).
4. Мы видим, что векторы AD и BC равны:
AD = BC.
5. Поскольку векторы AD и BC равны, это означает, что стороны AB и CD параллельны и равны по длине, а также стороны AD и BC параллельны и равны по длине.
ответ:
- ABCD является параллелограммом, так как векторы AD и BC равны.